Bockwurstformel

[Ralf . K u s m i e r z]

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Moin!

Ich habe gerade einen begrifflichen Knoten bei der Kesselformel.

(Ganz einfach herleitbar: Ein dünnwandiges zylindrisches Rohr steht
unter Innendruck - wie verhalten sich Tangential- und Axialspannung?

Lösung:

Axialspannung:
Der Innendruck übt auf die Wand (indirekt) eine Zugspannung aus. Die
Zugkraft ist proportional zur Querschnittsfläche des Rohrs, und die
ist Pi*r^2. Diese Kraft wird von der Umfangslänge der Rohrwand
aufgenommen, und die ist 2*Pi*r. Daraus ergibt sich eine Zugspannung

sigma_A ~ (Pi*r^2)/(2*Pi*r) = r/2

Tangentialspannung:
Man betrachtet ein Rohrstück der Länge dL und schneidet es der Länge
nach auf. Dioe Querschnittsfläche von der Achse bis zum Rand ist r*dL,
aufgenommen wird die Kraft von der Werkstofflänge dL. Daraus ergibt
sich eine Zugspannung

sigma_T ~ r*dL/dL = r

Mithin ist die Tangentialspannung doppelt so hoch wie die
Axialspannung, und deswegen bersten Rohre (und Bockwürste) unter Druck
durch die Entstehung von Längsrissen.)

Soweit alles klar.

Nun wird argumentiert, daß bei einer Kugel keine Tangentialspannungen
existierem, sondern aus Symmetriegründen nur "Axialspannungen", also
wird die gleich starke Kugelwand nur halb so hoch belastet wir die
Rohrwand.

Und nun mein Vertändnisproblem:

Ich nehme einen Kugelkessel, schneide den am Äquator durch und füge
dort einen ganz kurzen zylindrischen Ring ein.

Und nun soll plötzlich an dem Ring die Spannung einen Sprung auf den
doppelten Wert gegenüber den Kugelkappen direkt daneben machen?

Kann mir mal jemand vom Schlauch helfen?


Gruß aus Bremen
Ralf

[Carsten Thumulla]

Post by Ralf . K u s m i e r z
Und nun soll plötzlich an dem Ring die Spannung einen Sprung auf den
doppelten Wert gegenüber den Kugelkappen direkt daneben machen?
Kann mir mal jemand vom Schlauch helfen?

Die Spannung ist nur im Zylinder doppelt so hoch. Bei kleinem und langsam
wachsendem Zylinderstück wächst sie langsam. Sie ist nur im unendlich
langen Rohr wirklich doppelt so hoch, wie die Ableitung sagt.


:°)
Carsten

[Franz Glaser]

Post by Carsten Thumulla
Die Spannung ist nur im Zylinder doppelt so hoch. Bei kleinem und langsam
wachsendem Zylinderstück wächst sie langsam. Sie ist nur im unendlich
langen Rohr wirklich doppelt so hoch, wie die Ableitung sagt.

Drum platzt die Wurst*) in der Mitte.

*) Von Bockwürsten weiß ichs nicht (wissenschaftlich) sicher, weil ich
keinen so großen Topf habe. Aber meine Weißwürste müßten den gleichen
physikalischen Gesetzen gehorchen.

Verwirrend: Käsekrainer reißen häufig quer, ich habe noch nicht
rausgefunden, was die Käseeinschlüsse an der Physik ändern. Ein
furchtbares Bild, die geknickte Wurst :-(

GL

[Ralf . K u s m i e r z]

X-No-Archive: Yes

Ein furchtbares Bild, die geknickte Wurst :-(

Bohlen?


Gruß aus Bremen
Ralf

[Ernst Sauer]

Am 04.08.2011 18:48, schrieb Ralf . K u s m i e r z:
...

Post by Ralf . K u s m i e r z
Ich nehme einen Kugelkessel, schneide den am Äquator durch und füge
dort einen ganz kurzen zylindrischen Ring ein.
Und nun soll plötzlich an dem Ring die Spannung einen Sprung auf den
doppelten Wert gegenüber den Kugelkappen direkt daneben machen?

Zunächst ist folgendes anschaulich klar:
Die Kraft p*dA die auf ein kleines Schalenelement wirkt, wird in
Membrankräfte umgelenkt.
Hat man nur in einer Richtung eine Krümmung (einen kleinen Knick)
dann kann die Kraft nur in eine Richtung umgelenkt werden.
Hat auch die andere Richtung eine Krümmung, geht ein Teil der Kraft
auch in die andere Richtung. Man kann dann im Prinzip 2x die
Kesselformel ansetzen.

Folgendes ist auch anschaulich klar:
Fügt man einen kurzen Ring ein, dann ist die Ringaufweitung des
Zylinders nicht identisch mit der Aufweitung der Kugel an dieser
Stelle. Man hat einen Störbereich und muss diesen näher untersuchen.

Gruß
E.S.

[Jan Bruns]

Post by Ralf . K u s m i e r z
Man betrachtet ein Rohrstück der Länge dL und schneidet es der Länge
nach auf. Dioe Querschnittsfläche von der Achse bis zum Rand ist r*dL,
aufgenommen wird die Kraft von der Werkstofflänge dL. Daraus ergibt sich
eine Zugspannung
sigma_T ~ r*dL/dL = r

Die Argumentation ist unschlüssig.
Lass den Faktor 2 in Zähler und Nenner drin, dann kommt das gleiche raus,
die Herleitung wird stimmig, und passt auch schön zur Darstellungen
bei der Axialspannung.

Post by Ralf . K u s m i e r z
Ich nehme einen Kugelkessel, schneide den am Äquator durch und füge
dort einen ganz kurzen zylindrischen Ring ein.

Also ein zylindrisches Rohr der Länge L, das an den Enden mit jeweils
einer Halbkugel mir Radius r abgeschlossen ist. Der Längsschnitt hat
also die Form eines Rechtecks, an das auf zwei gegenüberliegenden Seiten
Halbkreise angesetzt sind. Die Tangentialspannung ergibt sich mit
der von Dir verwendeten Schreibsweise dann also zu

sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)

Gruss

Jan Bruns

[Ernst Sauer]

Post by Jan Bruns
sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)

Falsch,
denn die Spannungen sind in der von Dir betrachteten Fläche nicht konstant.
Gruß
E.S.

[Jan Bruns]

Post by Ernst Sauer

Post by Jan Bruns
sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)

Falsch,
denn die Spannungen sind in der von Dir betrachteten Fläche nicht
konstant. Gruß

Eigentlich doch, meine ich. Egal. Die Fläche ist ja eh' nur
mir dem drucktragenden Medium gefüllt.

Die Argumentation ist schlicht die, die Ralf schon für die
axiale Spannung beschrieben hat:

Die Schnittfläche teilt das Volumen mit dem Medium unter Druck in
zwei Teile. Der Druck bewirkt eine auf die Schnittfläche senkrecht
gerichtete Kraft, eine Zugspannung, und ist prinzipiell erstmal
unabhängig von den beiden sich an die Schnittfläche anschliessenden
Formen, sondern hängt nur von der Fläche und der Druckdifferenz von
Medium zu Aussenbereich ab.

Diese Zugkraft lastet dann gemäss Ralfs Modell normal auf einen
Begrenzungspfad in der Schnittfläche. Vielleicht nicht
notwenigerweise auf diesen Pfad exakt gleichmässig verteilt.
Meintest Du das?

Gruss

Jan Bruns

[Ernst Sauer]

Post by Jan Bruns

Post by Ernst Sauer

Post by Jan Bruns
sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)

Falsch,
denn die Spannungen sind in der von Dir betrachteten Fläche nicht
konstant. Gruß

...

Vielleicht nicht

Post by Jan Bruns
notwenigerweise auf diesen Pfad exakt gleichmässig verteilt.
Meintest Du das?

Ja.
Der Zähler Deiner Formel liefert die resultierende Zugkraft,
die stimmt. Aber in einem exakt geraden dünnwandigen Zylinder ist die
Zugkraft in Umfangsrichtung (Tangentialspannung gefällt mir nicht)
n_phi=p*r (p Kraft/Fläche, n=Kraft/m)
Diese Gleichung ergibt sich aus einer Gleichgewichtsbetrachtung
am Element der Länge ds bzw. dL.
Die Gleichgewichtsbetrachtung für die gekrümmten Enden der Wurst
sagt aus, dass n_phi dort in jedem Fall kleiner ist.

Bei einer Halbkugel gilt ja
n_phi = p*r/2

Dies führt zu unverträglichen Ringaufweitungen an der Schnittelle
Zylinder/Halbkugel. Man bekommt einen Störbereich und die Halbkugel
bekommt die Form einer rotationssymmetrischen Ellipse.
Wie es genau aussieht hängt von der konkreten Geometrie und
auch von der Dicke t ab.
Bei einer ellipsenförmigen rotationssymmetrischen Schale bekommt
man bei n_phi sogar einen Vorzeichenwechsel innerhalb der Schale.

Gruß
E.S.

[Jan Bruns]

Post by Jan Bruns
sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)

notwenigerweise auf diesen Pfad exakt gleichmässig verteilt. Meintest
Du das?

Ja.
Der Zähler Deiner Formel liefert die resultierende Zugkraft, die stimmt.
Aber in einem exakt geraden dünnwandigen Zylinder ist die Zugkraft in
Umfangsrichtung (Tangentialspannung gefällt mir nicht)
n_phi=p*r (p Kraft/Fläche, n=Kraft/m)

Warum aber?

(%i2) limit( (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L) ,L,inf);
(%o2) r


Gruss

Jan Bruns

[Ernst Sauer]

Post by Jan Bruns

Post by Jan Bruns
sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)

notwenigerweise auf diesen Pfad exakt gleichmässig verteilt. Meintest
Du das?

Warum aber?
(%i2) limit( (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L) ,L,inf);
(%o2) r

Die Formel enthält die Annahme einer konstanten Spannung
in der Schnittfläche. Was hilft da eine Grenzwertbetrachtung?
Wenn Du nachweisen willst, dass die Formel richtig ist, musst Du
nachweisen, dass in jedem beliebig kleinen Element Gleichgewicht
herrscht und die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.
Gleichgewicht muss zu 100% und nicht zu 99,99% erfüllt sein
(nur den FEM-Spezis ist es erlaubt, die Gleichgewichtsbedingungen
lokal zu verletzen).

Gruß
E.S.

[Jan Bruns]

Die Formel enthält die Annahme einer konstanten Spannung in der
Schnittfläche. Was hilft da eine Grenzwertbetrachtung?

Die beiden Grenzwerte (L=>0 und L=>inf) sind doch gerade das richtige
daran. Der Rest dazwischen ist in der Tat nur Näherung.

Wenn Du nachweisen willst, dass die Formel richtig ist,
musst Du nachweisen, dass in jedem beliebig kleinen Element
Gleichgewicht herrscht und die
Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind. Gleichgewicht muss zu 100% und
nicht zu 99,99% erfüllt sein (nur den FEM-Spezis ist es erlaubt, die
Gleichgewichtsbedingungen lokal zu verletzen).

Oder ich verzichte einfach weiterhin auf die Aussage, die Formel gälte
für Punkte bzw. infinitesimal kleine Flächensegmente. Man kann die aber
doch verwenden, um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie es
in der Summe aussehen muss. Wenn Du auf eine Waage steigst, interessiert
Dich ja wahrscheinlich auch nur das Endergebnis, und eher nicht, wie
sich deine Gewichtskraft auf deine Füsse verteilt.

Gruss

Jan Bruns

[Uwe Hercksen]

Post by Ralf . K u s m i e r z
Ich nehme einen Kugelkessel, schneide den am Äquator durch und füge
dort einen ganz kurzen zylindrischen Ring ein.
Und nun soll plötzlich an dem Ring die Spannung einen Sprung auf den
doppelten Wert gegenüber den Kugelkappen direkt daneben machen?
Kann mir mal jemand vom Schlauch helfen?

Hallo,

die Formeln gelten sicher für einen zylindrischen Kessel mit genügender
Länge, also wenn l groß gegenüber r ist. Für den kurzen zylindrischen
Ring müssen sie ja nicht gelten, denn dort kann die Tangentialspannung
noch auf die eng benachbarten Halbkugeln ausweichen.
Aber wenn man einen möglichst leichten Druckbehälter braucht, dann ist
eben doch eine perfekte Kugel die beste Form. Eine Kugel mit einer
kleinen Rille um den Äquator ist dann schon schlechter, ebenso die mit
dem kurzen Zylinder verlängerte Kugel. Durch Berstdruckproben würde man
feststellen das die Druckfestigkeit mit zunehmender Länge des
zylindrischen Stücks immer mehr sinkt und sich ein gleichmäßiger Verlauf
ohne Sprung ergibt. Dabei würde man auch feststellen das die Längsrisse
immer in der Mitte des zylindrischen Teils beginnen, jedenfalls in
deutlicher Entfernung zu den Kugelkappen.

Bye

[Carsten Thumulla]

Bye

Man braucht sich nur mal den Spannungsverlauf am Bockwurstende
klarzumachen. Änderung von 1:2


ct

[Ernst Sauer]

Post by Uwe Hercksen
die Formeln gelten sicher für einen zylindrischen Kessel mit genügender
Länge, also wenn l groß gegenüber r ist. Für den kurzen zylindrischen
Ring müssen sie ja nicht gelten,

Ob kurz oder lang, wenn es wirklich ein Zylinder ist, gilt
n_phi=p*r.
Schubspanngen gibt es in der Ringfläche nicht, denn
die haben keine Rotationssymmetrie.
Es gibt nur n_s und n_phi, die stehen senkrecht aufeinander
und lassen sich alleine aus den Gleichgewichtsbdingungen
bestimmen. Kurz oder lang spielt bei der Betrachtung des
Störbereiches eine Rolle und dünn oder dick beeinflusst den Verlauf
der Spannungen innerhalb des Querschnitts (konstant oder nicht).

Gruß
E.S.

[Manfred Ullrich]

Post by Ralf . K u s m i e r z
Ich habe gerade einen begrifflichen Knoten bei der Kesselformel.
(Ganz einfach herleitbar: Ein dünnwandiges zylindrisches Rohr steht
unter Innendruck - wie verhalten sich Tangential- und Axialspannung?
...
...
Ich nehme einen Kugelkessel, schneide den am Äquator durch und füge
dort einen ganz kurzen zylindrischen Ring ein.
Und nun soll plötzlich an dem Ring die Spannung einen Sprung auf den
doppelten Wert gegenüber den Kugelkappen direkt daneben machen?

Ja, plötzlich!

Ich habe jetzt erst - leider - den sehr interessanten Beitrag von Ralf entdeckt.
Und ich habe mir Gedanken gemacht - vielleicht will die noch jemand mit mir
diskutieren.
Das Ergebnis war: Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige
Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, also seine "ideale" Form
beibehält (und sehr dünnwandig ist), ergibt sich, dass die Spannung an den
halbkugelförmigen Endstücken (wie schon gesagt) die Hälfte von der im
Zylinderbereich ist. Die Spannung ergibt sich dabei aufgrund der Krümmung(!) -
ob eine Dimension bzw. zwei.

Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension (Zylinderstück)
zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft ist, wird (so meine Behauptung)
die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken.

Was meint Ihr dazu?

Gruß
Manfred

[Carsten Thumulla]

Post by Manfred Ullrich
Ich habe jetzt erst - leider - den sehr interessanten Beitrag von
Ralf entdeckt. Und ich habe mir Gedanken gemacht - vielleicht will
die noch jemand mit mir diskutieren. Das Ergebnis war: Unter der
(theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige Gebilde sich
unter der Spannung NICHT verformt, also seine "ideale" Form beibehält
(und sehr dünnwandig ist), ergibt sich, dass die Spannung an den
halbkugelförmigen Endstücken (wie schon gesagt) die Hälfte von der
im Zylinderbereich ist. Die Spannung ergibt sich dabei aufgrund der
Krümmung(!) - ob eine Dimension bzw. zwei.
Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension
(Zylinderstück) zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft
ist, wird (so meine Behauptung) die Spannung an der Übergangsstelle
auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken.
Was meint Ihr dazu?

Sie ist eben nicht sprunghaft. Habe ich das nicht geschrieben?

Sie ist nur im unendlichen Rohr doppelt so hoch wie in der Kugel. An den
Enden einer Bockwurst muß es eine Übergangsfunktion geben.


Carsten

[Manfred Ullrich]

Post by Carsten Thumulla

Post by Manfred Ullrich
.....
Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension
(Zylinderstück) zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft
ist, wird (so meine Behauptung) die Spannung an der Übergangsstelle
auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken.
Was meint Ihr dazu?

Sie ist eben nicht sprunghaft. Habe ich das nicht geschrieben?

Doch, das hattest Du geschrieben, aber da bin ich eben anderer Ansicht.

Post by Carsten Thumulla
Sie ist nur im unendlichen Rohr doppelt so hoch wie in der Kugel.

Keineswegs muss das Rohr dafür unendlich lang sein.

Post by Carsten Thumulla
An den
Enden einer Bockwurst muß es eine Übergangsfunktion geben.

Nicht bei der idealen "Bockwurst", soll heißen:
Sehr dünnwandig, vernachlässigbare Verformung durch die Spannung.

Gruß
Manfred

[Carsten Thumulla]

Post by Manfred Ullrich

Post by Carsten Thumulla
Sie ist nur im unendlichen Rohr doppelt so hoch wie in der Kugel.

Keineswegs muss das Rohr dafür unendlich lang sein.

Doch, ein Rohr ist der Grenzfall in der Übergangsfunktion.

Post by Manfred Ullrich

Post by Carsten Thumulla
An den Enden einer Bockwurst muß es eine Übergangsfunktion geben.

Nicht bei der idealen "Bockwurst", soll heißen: Sehr dünnwandig,
vernachlässigbare Verformung durch die Spannung.

Unsinn, Bockwurst sagt nichts über das Material aus.


Carsten

[Ernst Sauer]

Am 10.10.2011 10:26, schrieb Manfred Ullrich:
...

Post by Manfred Ullrich
Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension
(Zylinderstück)
zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft ist, wird (so meine Behauptung)
die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken.
Was meint Ihr dazu?

Du hast Probleme mit den einfachsten Dingen der Mechanik:
mit Schnittprinzip und Gleichgewicht.
Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, denn ähnliches
hatten wir schon mal.

Nichts für ungut
E.S.

[Manfred Ullrich]

Post by Ernst Sauer
...

Post by Manfred Ullrich
Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension (Zylinderstück)
zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft ist, wird (so meine Behauptung)
die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken.
Was meint Ihr dazu?

mit Schnittprinzip und Gleichgewicht.
Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, denn ähnliches
hatten wir schon mal.

Ahso, na, dann warten wir mal ab - wer die Probleme hat.(;-))

(Beachte: dünnwandig und keine Verformung durch die Spannung!)

Gruß
Manfred

[Manfred Ullrich]

Post by Ernst Sauer
...

Post by Manfred Ullrich
Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension (Zylinderstück)
zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft ist, wird (so meine
Behauptung) die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den
Faktor 2 sinken.
Was meint Ihr dazu?

mit Schnittprinzip und Gleichgewicht.
Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, denn ähnliches
hatten wir schon mal.
Nichts für ungut

Ich möchte Dich bitte, Dir die Sache nochmal gründlich durch
den Kopf gehen zu lassen - da es doch ein "einfachstes Ding der
Mechanik" ist. Ich hab's auch getan. (;-))

Gruß
Manfred

[Ernst Sauer]

Am 11.10.2011 20:51, schrieb Manfred Ullrich:
...
Ich hab's auch getan. (;-))
...
Was hast Du getan?
Und wenn, dann zeige uns die Schnittbilder und Rechnungen doch mal.

Oben schreibst Du:
"Beachte: dünnwandig und keine Verformung durch die Spannung!"

Auf was stützt Du dich bei dieser Aussage?
Schon im 1.Sem. lernen die Studenten
eps = sig/E

Was geschieht, wenn man durch einen Schnitt die
Halbkugel vom Zylinder trennt?
Zeichne diesen Schnitt, dann wirst Du erkennen, welche
zusätzlichen Kräfte im Störbereich vorhanden sind, die
dafür sorgen, dass die Spannungen in benachbarten Elementen
oberhalb und unterhalb des Verbindungsrandes gleich sind.

Nicht fertige Formeln sondern Schnittprinzip, Gleichgewicht und
Verträglichkeit bilden die Basis für das Verständnis
der Mechanik.

Gruß
E.S.

[Manfred Ullrich]

.

Post by Ernst Sauer
"Beachte: dünnwandig und keine Verformung durch die Spannung!"
Auf was stützt Du dich bei dieser Aussage?
Schon im 1.Sem. lernen die Studenten
eps = sig/E

Aber wir wollen doch eine Aussage treffen über ein Druckbehälter der exakt
ein Zylinder ist mit zwei exakten Halbkugelendstücken - oder!?!

Post by Ernst Sauer
Was geschieht, wenn man durch einen Schnitt die
Halbkugel vom Zylinder trennt?
Zeichne diesen Schnitt, dann wirst Du erkennen, welche
zusätzlichen Kräfte im Störbereich vorhanden sind, die
dafür sorgen, dass die Spannungen in benachbarten Elementen
oberhalb und unterhalb des Verbindungsrandes gleich sind.
....

Hier also meine Überlegung:

Wir betrachten einen Ring mit der sehr dünnen Breite db in der Halbkugelfläche
direkt an der Grenze des Übergangs zum Zylinder. In diesem dünnen Ring betrachten
wir ein kleines Ringstück mit der Länge dr.

Die Fläche des Ringstückes ist also db · dr, die Druckkraft auf diese Fläche ist
F = p · db · dr.

Wie wird diese Kraft nach innen umgelenkt? Über zwei zueinander senkrechte Kräfte, und zwar:
(1) Die tangentiale Kraft Ft in Richtung des Zylinderumfanges bewirkt (Kräftedreieck):
F = Ft · db · da/2pi

(2) Die dazu senkrechte Kraft Fk auf der Halbkugelfläche bewirkt (Kräftedreieck):
F = Fk · da · db/2pi

Beide obigen Kräfte würden erzeugen 2F = Ft · db · da/2pi + Fk · da · db/2pi
(zweimal das Gleiche), aber nur *ein* F ist vorhanden. In dem Zylinder jedoch wird
F *nur* von Ft erzeugt. Also muss Ft im Zylinder doppelt so groß sein wie Ft in
der Halbkugelfläche - egal wo.

Gruß
Manfred

[Manfred Ullrich]

Post by Manfred Ullrich
.

Post by Ernst Sauer
"Beachte: dünnwandig und keine Verformung durch die Spannung!"
Auf was stützt Du dich bei dieser Aussage?
Schon im 1.Sem. lernen die Studenten
eps = sig/E

Aber wir wollen doch eine Aussage treffen über ein Druckbehälter der exakt
ein Zylinder ist mit zwei exakten Halbkugelendstücken - oder!?!

Post by Ernst Sauer
Was geschieht, wenn man durch einen Schnitt die
Halbkugel vom Zylinder trennt?
Zeichne diesen Schnitt, dann wirst Du erkennen, welche
zusätzlichen Kräfte im Störbereich vorhanden sind, die
dafür sorgen, dass die Spannungen in benachbarten Elementen
oberhalb und unterhalb des Verbindungsrandes gleich sind.
....

Wir betrachten einen Ring mit der sehr dünnen Breite db in der Halbkugelfläche
direkt an der Grenze des Übergangs zum Zylinder. In diesem dünnen Ring betrachten
wir ein kleines Ringstück mit der Länge dr.
Die Fläche des Ringstückes ist also db · dr, die Druckkraft auf diese Fläche ist
F = p · db · dr.

Entschuldigung, bei der Herleitung ist ein Flüchtigkeitsfehler passiert (erst hatte
ich mit Winkeln gerechnet), statt 2pi nun r, also:

Wie wird diese Kraft nach innen umgelenkt? Über zwei zueinander senkrechte Kräfte, und zwar:
(1) Die tangentiale Kraft Ft in Richtung des Zylinderumfanges bewirkt (Kräftedreieck):
F = Ft · db · da/r

(2) Die dazu senkrechte Kraft Fk auf der Halbkugelfläche bewirkt (Kräftedreieck):
F = Fk · da · db/r
Beide obigen Kräfte zusammen würden erzeugen 2F = Ft · db · da/r + Fk · da · db/r
(zweimal das Gleiche), aber nur *ein* F ist vorhanden. In dem Zylinder jedoch wird
F *nur* von Ft erzeugt. Also muss Ft im Zylinder doppelt so groß sein wie Ft in
der Halbkugelfläche - egal wo.

Gruß
Manfred

[Manfred Ullrich]

Post by Manfred Ullrich
.

Post by Ernst Sauer
"Beachte: dünnwandig und keine Verformung durch die Spannung!"
Auf was stützt Du dich bei dieser Aussage?
Schon im 1.Sem. lernen die Studenten
eps = sig/E

Aber wir wollen doch eine Aussage treffen über ein Druckbehälter der exakt
ein Zylinder ist mit zwei exakten Halbkugelendstücken - oder!?!

Post by Ernst Sauer
Was geschieht, wenn man durch einen Schnitt die
Halbkugel vom Zylinder trennt?
Zeichne diesen Schnitt, dann wirst Du erkennen, welche
zusätzlichen Kräfte im Störbereich vorhanden sind, die
dafür sorgen, dass die Spannungen in benachbarten Elementen
oberhalb und unterhalb des Verbindungsrandes gleich sind.
....

Entschuldigung, man sollte nicht zu schnell antworten (noch ein Fehler entdeckt),
hier also die (hoffentlich) endgültig richtige Version meiner Überlegung:

Wir betrachten einen Ring mit der sehr dünnen Breite db in der Halbkugelfläche
direkt an der Grenze des Übergangs zum Zylinder. In diesem dünnen Ring betrachten
wir ein kleines Ringstück mit der Länge da.

Die Fläche des Ringstückes ist also db · da, die Druckkraft auf diese Fläche ist
F = p · db · da.

Wie wird diese Kraft nach innen umgelenkt? Über zwei zueinander senkrechte Kräfte, und zwar:
(1) Die tangentiale Kraft Ft in Richtung des Zylinderumfanges bewirkt (Kräftedreieck):
F = Ft · db · da/R (R=Radius)
(2) Die dazu senkrechte Kraft Fk auf der Halbkugelfläche bewirkt (Kräftedreieck):
F = Fk · da · db/R

Beide obigen Kräfte zusammen würden erzeugen 2F = Ft · db · da/R + Fk · da · db/R
(zweimal das Gleiche), aber nur *ein* F ist vorhanden. In dem Zylinder jedoch wird
F *nur* von Ft erzeugt. Also muss Ft im Zylinder doppelt so groß sein wie Ft in
der Halbkugelfläche - egal wo.

Gruß
Manfred

[Jürgen B]

Wie wird diese Kraft nach innen umgelenkt? =DCber zwei zueinander =
(1) Die tangentiale Kraft Ft in Richtung des Zylinderumfanges bewirkt =

=

F =3D Ft =B7 db =B7 da/R (R=3DRadius)
(2) Die dazu senkrechte Kraft Fk auf der Halbkugelfl=E4che bewirkt =
F =3D Fk =B7 da =B7 db/R

Eine sprunghafte Ver=E4nderung von Kr=E4ften kann eigentlich nur durch
Ver=E4nderungen in der Belastung, Geometrie oder Querschnitt herr=FChren=
.

Wenn Du, wie oben von dir angegeben, ein Kr=E4ftedreieck konstruieren ka=
nnst,
bedeutet dieses auch einen KNICK in der Geometrie, dieser Knick mag in =

deiner
Rechenvorstellung vorhanden sein, in der Realit=E4t ist er es aber nicht=
.

Wenn Du mal die Neigung der Tangenten vom Zylinder und von der Kugel im
=DCbergangsPUNKT berechnest, wirst Du sehen, dass die Neigungen gleich g=
ross
und auch mit gleichem Vorzeichen versehen sind, einen Knick gibt es auch=

dort nicht!

J=FCrgen

[Manfred Ullrich]

Eine sprunghafte Veränderung von Kräften kann eigentlich nur durch
Veränderungen in der Belastung, Geometrie oder Querschnitt herrühren.
Wenn Du, wie oben von dir angegeben, ein Kräftedreieck konstruieren kannst,
bedeutet dieses auch einen KNICK in der Geometrie, dieser Knick mag in deiner Rechenvorstellung vorhanden sein, in der Realität
ist er es aber nicht.
Wenn Du mal die Neigung der Tangenten vom Zylinder und von der Kugel im
ÜbergangsPUNKT berechnest, wirst Du sehen, dass die Neigungen gleich gross
und auch mit gleichem Vorzeichen versehen sind, einen Knick gibt es auch
dort nicht!

Ein Knick ist in der 2. Ableitung!
Ein Beispiel mit einer gewissen Analogie: Nehmen wir an, auf dem Innenboden
jenes Druckbehälters - der waagerecht liegt - rollt eine kleine Kugel mit
konstanter Geschwindigkeit v vom Zylinderteil zum Halbkugel-Endteil. Beim Rollen
im Zylinderteil übt die Kugel eine Gewichtskraft aus gemäß m · g. Nun
überschreitet die Kugel die Grenzlinie. In diesem Moment wächst die Kraft
schlagartig um m · v²/R. Und dies, obwohl "die Neigung der Tangenten vom Zylinder
und von der Kugel im ÜbergangsPUNKT gleich gross und auch mit gleichem Vorzeichen
versehen sind, einen Knick gibt es auch dort nicht!"

Gruß
Manfred

[Ernst Sauer]

Post by Manfred Ullrich
Also muss Ft im Zylinder doppelt so groß sein
wie Ft in
der Halbkugelfläche - egal wo.

Das gilt für die nicht verbundenen Einzelteile aber
nicht für kraftschlüssig verbundene Teile.

Verträglichkeit ist das Stichwort!

Wenn man 2 benachbarte Fasern an der Naht betrachtet und eine
Faser (Zylinder) hat eine Spannung die doppelt so groß ist wie
die Spg. der anderen Faser (Kugel), dann unterscheiden sich wegen
eps = sig/E
auch die Dehnungen um den Faktor 2.
Auch die Ringaufweitungen unterscheiden sich dann um den Faktor 2.

Die Teile passen nicht mehr zusammen, das nennt man Unverträglichkeit.

Dann hast Du geschrieben "Ein Knick ist in der 2. Ableitung!".
Richtig, und das hätte Dich stutzig machen sollen, denn die
Dgl. der Membran setzt Stetigkeit in der 2. Ableitung
(genauer in der Krümmung 1/r) voraus.
Ist diese Stetigkeit nicht gegeben, muss man die Bereiche
getrennt betrachten und die Teillösungen durch Übergangsbedingungen
verknüpfen; das ist genau das was Jürgen schon gesagt hat:
"... Veränderungen in der ..., Geometrie oder Querschnitt"


Jetzt kannst Du noch die Kurve bekommen, wenn Du behauptest, Du
hättest ja bei dem Zylinder exakt die doppelte Wanddicke vorausgesetzt
oder exakt den doppelten E-Modul.
:-)

Aber so werden Bockwürste nun mal nicht hergestellt
:-(

Gruß
E.S.

[Manfred Ullrich]

Post by Ernst Sauer
Jetzt kannst Du noch die Kurve bekommen, wenn Du behauptest, Du
hättest ja bei dem Zylinder exakt die doppelte Wanddicke vorausgesetzt
oder exakt den doppelten E-Modul.
:-)

Ich sehe nur, wie jetzt DU "die Kurve bekommen", bzw. Dich herauswinden willst.
Denn wie hatte ich am 10.10.11 geschrieben:

Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige
Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, also seine "ideale" Form
beibehält ....

Und wie hattest Du dann so nett und von oben herab geschrieben:
Du hast Probleme mit den einfachsten Dingen der Mechanik:
mit Schnittprinzip und Gleichgewicht.
Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, ...

Das fällt nun auf Dich zurück.

Manfred

[Ernst Sauer]

Post by Manfred Ullrich
Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige
Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, also seine "ideale" Form
beibehält ....
mit Schnittprinzip und Gleichgewicht.
Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, ...

Es gibt nichts auf der Welt, was sich unter Spannung nicht verformt.
Und bei statisch unbestimmten Systemen kommt man nur über die
Betrachtung der Verformungen zu Lösungen die brauchbar sind.

War die letzte Antwort.

[Manfred Ullrich]

Post by Ernst Sauer

Post by Manfred Ullrich
Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige
Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, also seine "ideale" Form
beibehält ....
mit Schnittprinzip und Gleichgewicht.
Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, ...

Es gibt nichts auf der Welt, was sich unter Spannung nicht verformt.
Und bei statisch unbestimmten Systemen kommt man nur über die
Betrachtung der Verformungen zu Lösungen die brauchbar sind.
War die letzte Antwort.

Es ging um die Theorie! Ich hatte geschrieben: "theoretisch ... nicht
verformt" (was auch vernachlässigbar kleine Verformung heißen mag),
und Du willst JETZT Dein Falschheißen meiner These damit rechtfertigen,
dass es so etwas - praktisch(!) - nicht gibt. Wie armselig! Und ZUDEM
hast Du ja heute selbst gezeigt, wie sogar PRAKTISCH(!) ein Beibehalten
der "idealen" Form ginge, mit z.B. "dem exakt doppeltem E-Modul" beim
Zylinderteil.

Es hätte Dich geehrt, wenn Du zugegeben hättest, dass Du Dich verrannt
und im Ton vergriffen hast. Aber dazu gehört Charakter.

Nun ist offensichtlich, bei wem die "Probleme" liegen.

Manfred

[Ernst Sauer]

Am 12.10.2011 23:50, schrieb Manfred Ullrich:

...

dass Du Dich verrannt und im Ton vergriffen hast.

...

Wegen dieses Satzes ein allerletztes Mal:

Außer mir haben auch Carsten und Jürgen versucht,
Dich von Deinen falschen Schlussfolgerungen abzubringen,
die da lauteten:
1.)
" Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige
Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, ..."
Diese Schlussfolgerung verschlimmerst Du noch durch
"...(und sehr dünnwandig ist) ...".
2.)
"... die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2
sinken."


Carsten sagte dazu:
"Sie ist eben nicht sprunghaft...
Sie ist nur im unendlichen Rohr doppelt so hoch wie in der Kugel. An den
Enden einer Bockwurst muß es eine Übergangsfunktion geben."

Und Jürgen:
" ... dieser Knick mag in deiner
Rechenvorstellung vorhanden sein, in der Realität ist er es aber nicht. "
"... Veränderungen in .., Geometrie ..."

Weil die Bockwursthaut sehr dünn ist, verhält sie sich wie eine Membran.
Membran und Seil sind exemplarische Beispiele für Systeme, bei denen man
von Anfang an die Verformungen berücksichtigen muss (erst recht,
wenn Membran bzw. Seil sehr dünn sind).

Einen Spannungssprung kann es in einer homogenen Membran nicht geben,
sonst hätten wir an dieser Stelle einen Riss.
Meine Weißwürste reissen alle genau in der Mitte und nicht im
Übergangsbereich.

Meinen Hinweis auf 2*E oder 2*t hast Du unvollständig gelesen.
"... so werden Bockwürste nun mal nicht hergestellt"
hatte ich auch geschrieben.
Außerdem: bei 2E oder 2t im Zylinder gibt es eben keinen "Spannungssprung".

An der wenigstens qualitativ richtigen Lösung (und wie man sie findet)
scheinst Du gar kein Interesse zu haben, auch gut.

[Manfred Ullrich]

...

Post by Ernst Sauer

dass Du Dich verrannt und im Ton vergriffen hast.

...
Aha

Post by Ernst Sauer
Außer mir haben auch Carsten und Jürgen versucht,
Dich von Deinen falschen Schlussfolgerungen abzubringen,
1.)
" Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige
Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, ..."
Diese Schlussfolgerung verschlimmerst Du noch durch
"...(und sehr dünnwandig ist) ...".

warum verschlimmert?

Post by Ernst Sauer
2.)
"... die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken."

Und das ist falsch....

Post by Ernst Sauer
"Sie ist eben nicht sprunghaft...
Sie ist nur im unendlichen Rohr doppelt so hoch wie in der Kugel.

Das stimmt eben nicht, hat mit unendlich nichts zu tun!

Post by Ernst Sauer
An den
Enden einer Bockwurst muß es eine Übergangsfunktion geben."

Ja, und die ist ein Sprung, wenn die Form beibehalten ist, also ein idealer
Zylinder und je eine ideale Halbkugel an den Enden. Und das Tolle ist,
Du selbst hast ja ein Beispiel genannt, wie die Form - sogar in der Praxis! -
unter Spannung beibehalten sein kann, nämlich indem der Zylinder ein doppelt
so großes E-Modul hat.

Post by Ernst Sauer
" ... dieser Knick mag in deiner
Rechenvorstellung vorhanden sein, in der Realität ist er es aber nicht. "
"... Veränderungen in .., Geometrie ..."

Siehe oben.

Post by Ernst Sauer
Weil die Bockwursthaut sehr dünn ist, verhält sie sich wie eine Membran.
Membran und Seil sind exemplarische Beispiele für Systeme, bei denen man
von Anfang an die Verformungen berücksichtigen muss (erst recht,
wenn Membran bzw. Seil sehr dünn sind).

Das spricht nicht gegen meine These.

Post by Ernst Sauer
Einen Spannungssprung kann es in einer homogenen Membran nicht geben,
sonst hätten wir an dieser Stelle einen Riss.
Meine Weißwürste reissen alle genau in der Mitte und nicht im
Übergangsbereich.

Wer verlangt eine "homogene Membran"? Die "Bockwurst" (oben) hat keine.
Wichtig ist, die Form (idealer Zylinder, ideale Halbkugel) bleibt mit der
Spannung erhalten.

Post by Ernst Sauer
Meinen Hinweis auf 2*E oder 2*t hast Du unvollständig gelesen.
"... so werden Bockwürste nun mal nicht hergestellt"
hatte ich auch geschrieben.

Der OP hat ja auch nicht eine Bockwurst als solche gemeint, sondern einen
"bockwurstförmigen" Kessel. Und - da bin ich sicher - er hat auch gemeint,
dass dessen ideale Form unter Spannung ERHALTEN BLEIBT. Sonst wären ja seine
Ausführung Unsinn. Denn - selbstverständlich - sind jene Spannungen nicht mehr
2 zu 1, wenn die Form sich geändert hat. Das ist doch trivial!

Post by Ernst Sauer
Außerdem: bei 2E oder 2t im Zylinder gibt es eben keinen "Spannungssprung".

Weiß nicht, was Du meinst.

Post by Ernst Sauer
An der wenigstens qualitativ richtigen Lösung (und wie man sie findet) scheinst Du gar kein Interesse zu haben, auch gut.

Weiß nicht, was Du meinst.

Gruß
Manfred

[Dr. Falstaff]

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< Siehste, jetzt ist der Ernst sauer >
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[Alfred Flaßhaar]

Post by Dr. Falstaff
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< Siehste, jetzt ist der Ernst sauer >
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(...)

...glaube ich nicht ;-). Vielmehr will er richtigerweise klarstellen, daß
bei solchen Systemen die Untersuchung der Gleichgewichte von Schnittgrößen
und Lasten (mit dem Ziel, Gleichungen für das Modellverhalten aufzustellen)
nur am verformten System sinnvoll ist.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

[Manfred Ullrich]

Post by Dr. Falstaff
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< Siehste, jetzt ist der Ernst sauer >
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(...)
...glaube ich nicht ;-). Vielmehr will er richtigerweise klarstellen, daß bei solchen Systemen die Untersuchung der Gleichgewichte
von Schnittgrößen und Lasten (mit dem Ziel, Gleichungen für das Modellverhalten aufzustellen) nur am verformten System sinnvoll
ist.

Ja, aber was macht es dann für einen Sinn, nach dem Spannungsverlauf in einem
Gebilde (Zylinder mit Halbkugelendstücken) zu fragen, wenn es dann doch nicht
ein solches Gebilde ist? Wegen Verformung.

Gruß
Manfred

[Alfred Flaßhaar]

Post by Manfred Ullrich

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Dr. Falstaff
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< Siehste, jetzt ist der Ernst sauer >
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(...)
...glaube ich nicht ;-). Vielmehr will er richtigerweise
klarstellen, daß bei solchen Systemen die Untersuchung der
Gleichgewichte von Schnittgrößen und Lasten (mit dem Ziel,
Gleichungen für das Modellverhalten aufzustellen) nur am verformten
System sinnvoll ist.

Ja, aber was macht es dann für einen Sinn, nach dem Spannungsverlauf
in einem Gebilde (Zylinder mit Halbkugelendstücken) zu fragen, wenn es
dann
doch nicht ein solches Gebilde ist? Wegen Verformung.

Der Spannungsverlauf (genauer: Spannungstensor) und die dazugehörigen
Verformungskomponenten stehen modellentsprechend im Zusammenhang. Das wird
in Lehrbüchern (z. B. über Technische Mechanik und Statik, Szabo,
Hirschfeld, Duschek/Hochrainer...) ausführlich beschrieben. Da es den
absolut starren Körper endlicher Ausdehnung nicht gibt, sorgen im
ingenieurtechnischen Verständnis insbesondere der Energieerhaltungssatz und
Verformungsverträglichkeiten zwischen verschiedenen miteinander verbundener
Strukturen dafür, daß an halbwegs realitätsnahen Modellen unter
Beanspruchung mechanische Arbeit geleistet wird, die sich auch in Verformung
äußert. Das trifft auch für die Bockwurst zu, die als Modell praktisch z. B.
im Kesselbau vorkommt. Der Verformungs- und Beanspruchungszustand läßt sich
mit Hilfe einschlägiger Software nach Erzeugung eines geometrischen
Startmodells und anschließender Atomisierung in finite Elemente leicht
nachvollziehen.

In den praktisch interessierenden Fällen wird die Verformung auf dem Wege
der Bemessung meist auf ein zulässiges Maß hin gesteuert. Sie kann daher
recht klein gehalten werden, daß sie praktisch
uninteressant/vernachlässigbar ist und man meinen könnte, sie wäre "Null".
Tatsächlich ist sie dann rechnerisch zwar klein, aber dennoch vorhanden und
liefert entsprechend dem aktuellen Materialgesetz
Beanspruchungen/Spannungen.

Zur Erinnerung: Die vollständige Deformationsmethode zur Berechnung statisch
unbestimmter Stabwerke verdeutlicht die Abhängigkeit zwischen Schnittgrößen
und Verformungen - ganz zu schweigen von der (M/M_quer-) "Arbeitsgleichung"
;-).

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Ernst Sauer]

Post by Dr. Falstaff
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< Siehste, jetzt ist der Ernst sauer>
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Nö, aber hornlos finde ich hirnlos,
die armen Viecher.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Ernst Sauer

Post by Dr. Falstaff
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< Siehste, jetzt ist der Ernst sauer>
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Nö, aber hornlos finde ich hirnlos,
die armen Viecher.

Na also, bitte etwas mehr Respekt gegenüber Hüftsteak und Tafelspitz...

[Dr. Falstaff]

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/ Ein Schaf mit Geweih? \
\ Gut, daß Du kein Bauer geworden bist. /
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\ \_\_ _/_/
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[Friz Knauer]

Post by Dr. Falstaff
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/ Ein Schaf mit Geweih? \
\ Gut, daß Du kein Bauer geworden bist. /
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\ \_\_ _/_/
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Hornschaf?

[Wolfgang Allinger]

On 15 Oct 11 at group /de/sci/ing/misc in article

Post by Friz Knauer

Post by Dr. Falstaff
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/ Ein Schaf mit Geweih? \
\ Gut, daß Du kein Bauer geworden bist. /
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\ \_\_ _/_/
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Hornschaf?

Mit Geweih am oder gar im Arsch?

Dat arme Schaf!


Saludos Wolfgang

[Dr. Falstaff]

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| http://www.google.com/images?q=Arschgeweih |
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[Ernst Sauer]

Post by Friz Knauer

Post by Dr. Falstaff
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/ Ein Schaf mit Geweih? \
\ Gut, daß Du kein Bauer geworden bist. /
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Hornschaf?

Oder auch Schafhorn :-)

[Jürgen B]

Und da der =DCbergang der Kr=FCmmung von der mit einer Dimension =
(Zylinderst=FCck)
zu der mit zwei Dimensionen (Endst=FCck) sprunghaft ist, wird (so mein=

e =

Behauptung)
die Spannung an der =DCbergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2 =

=

sinken.
Was meint Ihr dazu?
Gru=DF
Manfred

siehe:
http://www.uni-magdeburg.de/ifme/l-numerik/schalenvorlesung.pdf

Seite 34ff

J=FCrgen

[Dr. Falstaff]

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[Gerd Schweizer]

Post by Dr. Falstaff
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Ist das eine dieser hornlosen Kühe?
Im Osten von München bei Glonn wirbt ein Direktvermarkter mit einem
Plakatbild einer hornlosen Kuh mit dem Text: "Natürlicher gehts nicht".
Prompt sind dort keine Kühe mit Hörnern mehr zu finden.

[Dr. Falstaff]

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( lieber hornlos als hirnlos )
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